ADVANCED ELECTRIC POWER SYSTEM ENGINEERING · BOOK II
Part 2
Symmetrical Components & Sequence Networks
မညီမျှသော Three-Phase System ကို Sequence Components ဖြင့် ခွဲခြမ်းလေ့လာခြင်း
Phase Quantities → Sequence Transformation → Network Paths → Fault Conditions → Relay Measurements
01. Unbalanced System ကို ဘာကြောင့် ခွဲခြမ်းသလဲ။
Part 1 မှာ balanced positive-sequence network ကို Per-Unit System နဲ့ Ybus အဖြစ် တည်ဆောက်ခဲ့ပါတယ်။ လက်တွေ့ဓာတ်အားစနစ်မှာတော့ single-line-to-ground fault၊ phase-to-phase fault၊ open conductor နဲ့ unequal loading တို့ကြောင့် phase သုံးခုရဲ့ magnitudes သို့မဟုတ် angle relationships မညီမျှနိုင်ပါ။
ဒီအခြေအနေတွေကို phase coordinates ဖြင့် တိုက်ရိုက်တွက်ချက်နိုင်ပါတယ်။ သို့သော် Symmetrical Components က three-phase phasors ကို အဓိပ္ပာယ်ဖော်ရလွယ်သော sequence sets သုံးခုအဖြစ် ပြောင်းပေးပြီး၊ phase-symmetric linear network များကို independent sequence networks အဖြစ် ခွဲတွက်နိုင်စေပါတယ်။
ဒါဟာ Physical System အသစ်သုံးခု ဖြစ်ပေါ်လာခြင်း မဟုတ်ပါ။ တူညီသော Electrical State ကို mathematical coordinates အသစ်ဖြင့် ဖော်ပြခြင်း ဖြစ်ပါတယ်။
- Va, Vb, Vc နှင့် Ia, Ib, Ic မှ sequence quantities ကို တွက်ချက်ပြီး phase quantities ပြန်တည်ဆောက်နိုင်မယ်။
- I0 နှင့် 3I0၊ V0 နှင့် 3V0 တို့ကို မှန်ကန်စွာ ခွဲခြားနိုင်မယ်။
- Transformer connections နဲ့ neutral grounding အလိုက် zero-sequence paths ကို ဆုံးဖြတ်နိုင်မယ်။
- Simple ground-fault calculation ကို boundary conditions မှ ဆင်းသက်နိုင်ပြီး relay measurement နဲ့ ဆက်စပ်နိုင်မယ်။
Sequence Set သုံးမျိုး
| Sequence | Phase set [a, b, c] | အဓိပ္ပာယ် |
|---|---|---|
| Positive — 1 | [V₁, a²V₁, aV₁] | Equal magnitudes; normal abc sequence။ |
| Negative — 2 | [V₂, aV₂, a²V₂] | Equal magnitudes; reverse acb sequence။ |
| Zero — 0 | [V₀, V₀, V₀] | Equal magnitudes and equal angles; phase သုံးခု in phase ဖြစ်သည်။ |
ဒီမှာ a ဟာ phase label မဟုတ်ဘဲ 120° rotation operator ဖြစ်ပါတယ်။ Negative sequence ဆိုတာ negative frequency မဟုတ်ပါ။ Phase order ပြောင်းပြန်ဖြစ်တဲ့ same-frequency set ဖြစ်ပါတယ်။
02. Transformation — Convention ကို အရင်သတ်မှတ်ပါ
RMS phasors၊ abc positive phase order နဲ့ ejωt time convention ကို သုံးပါမယ်။ Sequence vector order ကို [0, 1, 2] လို့ သတ်မှတ်ထားပါတယ်။ Textbook သို့မဟုတ် software တချို့က [1, 2, 0] သုံးနိုင်တာကြောင့် matrix ကို မကူးမီ ordering စစ်ရပါမယ်။
a² = ej240° = −½ − j√3/2
a³ = 1; 1 + a + a² = 0; a* = a²
Phase → Sequence
V₁ = (Va + aVb + a²Vc)/3
V₂ = (Va + a²Vb + aVc)/3
Current အတွက်လည်း V နေရာမှာ I အစားထိုးပြီး တူညီသော transformation ကို အသုံးပြုပါမယ်။ Phasor တွေကို complex sum လုပ်ရပါတယ်။ Magnitudes သာပေါင်းခြင်း မဟုတ်ပါ။
Sequence → Phase
Vb = V₀ + a²V₁ + aV₂
Vc = V₀ + aV₁ + a²V₂
Matrix notation ဖြင့် Vabc = A V012၊ V012 = A−1Vabc ဖြစ်ပါတယ်။
| A — row | Column 0 | Column 1 | Column 2 | A⁻¹ — row | Column a | Column b | Column c |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| a | 1 | 1 | 1 | 0 | 1/3 | 1/3 | 1/3 |
| b | 1 | a² | a | 1 | 1/3 | a/3 | a²/3 |
| c | 1 | a | a² | 2 | 1/3 | a²/3 | a/3 |
1 + a + a² = 0 ကို သုံးပြီး A−1A = I ဖြစ်ကြောင်း စစ်ဆေးနိုင်ပါတယ်။ Transformation က invertible ဖြစ်လို့ original phasor information မပျောက်ပါ။
03. Worked Phasors — ခွဲခြမ်းပြီး ပြန်တည်ဆောက်ခြင်း
Worked Example 1 — Balanced System
Given: Va = 1∠0°, Vb = 1∠−120° = a², Vc = 1∠120° = a pu။
V₁ = (1 + a·a² + a²·a)/3 = (1 + 1 + 1)/3 = 1 pu
V₂ = (1 + a²·a² + a·a)/3 = (1 + a + a²)/3 = 0
Interpretation: Balanced abc set မှာ positive sequence ပဲ ရှိပါတယ်။ Phase b နဲ့ c labels ကို ပြောင်းလဲမိလျှင် negative sequence ထွက်လာနိုင်ပါတယ်။ Phase labeling မှားခြင်းကို real system unbalance လို့ မကောက်ချက်ချရပါ။
Worked Example 2 — Unequal Voltage Magnitudes
Given: Va = 1∠0°, Vb = 0.9∠−120°, Vc = 0.8∠120° pu။ Angles က 120° ခြားနေသော်လည်း magnitudes မတူလို့ unbalanced ဖြစ်ပါတယ်။
Vb = −0.45 − j0.779423
Vc = −0.40 + j0.692820
V₁ = 0.900000 + j0 = 0.900000∠0° pu
V₂ = 0.050000 + j0.028868 = 0.057735∠30° pu
a-phase ကို ပြန်တည်ဆောက်စစ်ဆေးလျှင်—
b နဲ့ c ကိုလည်း inverse equations ဖြင့် ပြန်တွက်လျှင် original input ကို ပြန်ရပါတယ်။ Negative-sequence voltage ratio ကို အောက်ပါအတိုင်း define လုပ်လျှင်—
ဒီ VUF definition ကို “maximum deviation from average voltage” percentage နဲ့ ရောမသုံးပါ။ Metric မတူရင် numerical answer မတူနိုင်ပါတယ်။ ဒီဥပမာဟာ transformation ကို ရှင်းပြဖို့ training values ဖြစ်ပြီး acceptable operating limit တစ်ခုကို သတ်မှတ်ခြင်း မဟုတ်ပါ။
Power Identity — Transformation Check တစ်ခု
Physical RMS phase quantities အတွက် total complex power က—
= 3(V₀I₀* + V₁I₁* + V₂I₂*)
Part 1 ရဲ့ three-phase power base၊ phase-voltage/current bases ကို အသုံးပြုလျှင်—
Physical-unit identity မှ factor 3 ကို အဲဒီ per-unit expression ထဲ ထပ်မထည့်ပါ။ ဒီ identity က voltage နဲ့ current transformation နှစ်ခုစလုံးကို consistent လုပ်ထားသလား စစ်ဆေးပေးနိုင်ပါတယ်။
04. I₀၊ 3I₀ နှင့် V₀၊ 3V₀
3V₀ = Van + Vbn + Vcn
Current direction တစ်မျိုးတည်း သတ်မှတ်ပြီး phase currents သုံးခုကို ပေါင်းထားတာက residual current 3I₀ ဖြစ်ပါတယ်။ Zero sequence I₀ ဟာ residual ရဲ့ သုံးပုံတစ်ပုံ ဖြစ်ပါတယ်။
Phase-to-reference voltages သုံးခုက common reference တစ်ခုတည်းကို သုံးရပါမယ်။ Line-to-line voltages ပဲရှိရင် Vab + Vbc + Vca = 0 ဖြစ်ပြီး common zero-sequence voltage က subtraction မှာ cancel ဖြစ်သွားပါတယ်။ ထို့ကြောင့် line-to-line measurements ပဲသုံးပြီး arbitrary V₀ ကို reconstruct မလုပ်နိုင်ပါ။
Worked Example 3 — Residual Current and CT Scaling
Given: Ia = 300∠0°, Ib = 280∠−120°, Ic = 260∠120° A primary။ Identical phase CTs = 600/1 A; ideal ratio/polarity ကို ယူပါ။
= 30 − j17.3205 = 34.6410∠−30° A primary
I₀ = 11.5470∠−30° A primary
3I₀,secondary = 34.6410/600 = 0.057735 A
I₀,secondary = 11.5470/600 = 0.019245 A
Interpretation: Relay က “I₀” လို့ ပြသသလား၊ “3I₀” လို့ ပြသသလား၊ primary amperes သို့မဟုတ် secondary amperes ပြသသလားဆိုတာ manual/configuration မှာ စစ်ရပါမယ်။ ဒီ numerical result ကို pickup recommendation အဖြစ် မယူဆပါ။
Four-wire circuit မှာ phase currents ကို load ဘက်သို့ positive၊ neutral current ကို source ဘက်သို့ return positive သတ်မှတ်လျှင် IN,return = 3I₀ ဖြစ်ပါတယ်။ Conductors အားလုံးအတွက် တူညီသော spatial direction သတ်မှတ်လျှင် neutral current sign က ပြောင်းမယ်။
05. Sequence Networks သုံးခု ဘယ်လို ဖြစ်လာသလဲ။
Linear branch တစ်ခုအတွက် ΔVabc = ZabcIabc လို့ ရေးပြီး transformation ထည့်ရင်—
Z012 = A⁻¹ZabcA
Phase-symmetric reciprocal model တစ်ခုမှာ diagonal self impedance Zs တူညီပြီး off-diagonal mutual impedance Zm တူညီတယ်လို့ ယူလျှင်—
| Zabc | a | b | c |
|---|---|---|---|
| a | Zs | Zm | Zm |
| b | Zm | Zs | Zm |
| c | Zm | Zm | Zs |
Transformation ရလဒ်က diagonal ဖြစ်ပြီး sequence impedance များက—
Z₁ = Z₂ = Zs − Zm
Zero-sequence currents သုံးခုက in phase ဖြစ်တာကြောင့် mutual terms ပေါင်းအားဖြည့်ပါတယ်။ Positive/negative sets မှာ အခြား phase နှစ်ခုရဲ့ current sum က −Ia ဖြစ်တာကြောင့် subtraction ဖြစ်ပါတယ်။
Worked Example 4 — Sequence Impedance from Phase Data
Given: Zs = 0.10 + j0.40 pu; Zm = 0.02 + j0.10 pu။
Z₁ = Z₂ = (0.10 + j0.40) − (0.02 + j0.10) = 0.08 + j0.30 pu
ဒီဥပမာက Z₀ ကို Z₁ နဲ့ အလိုအလျောက် တူညီစွာ မယူသင့်ကြောင်း ပြပါတယ်။ Actual line parameters ကို geometry၊ earth-return model၊ shield wires နဲ့ cable sheath/bonding conditions တို့မှ ရယူရပါတယ်။
Decoupling ၏ ကန့်သတ်ချက်
Transformation က arbitrary phasor set အတွက် သုံးလို့ရပေမယ့် sequence networks အမြဲ independent ဖြစ်မယ်လို့ မဆိုလိုပါ။ Untransposed lines၊ asymmetrical elements နဲ့ coupled controls များကြောင့် transformed matrices မှာ off-diagonal sequence coupling ကျန်နိုင်ပါတယ်။ Fault တစ်ခုကလည်း symmetric background networks တွေကို fault location မှာ boundary conditions ဖြင့် ဆက်စပ်ပေးပါတယ်။
Phase-symmetric network အတွက် Part 1 ရဲ့ Y-bus assembly ကို sequence တစ်ခုချင်းစီအလိုက် ပြန်သုံးနိုင်ပါတယ်။ Y₀, Y₁, Y₂ တို့မှာ impedance data မတူရုံအပြင် transformer connections ကြောင့် topology ပါ မတူနိုင်ပါတယ်။
06. Equipment များ၏ Sequence Models
| Equipment | Positive / negative | Zero sequence |
|---|---|---|
| Symmetric passive line | Usually Z₁ = Z₂ under the adopted transposed/symmetric model | Earth, neutral, shield-wire or sheath return paths ပါသော Z₀; independent data လိုအပ်။ |
| Synchronous generator | Balanced prefault source E₁ with study-appropriate Z₁; Z₂ သီးခြား | Z₀ plus grounding path; neutral connection ပေါ် မူတည်။ |
| Transformer | Linear leakage model မှာ Z₁ ≈ Z₂; vector-group phase shifts ကို ထိန်းရမယ်။ | Winding connections, neutral grounding, core construction နှင့် delta tertiary ပေါ် မူတည်။ |
| Motor | Operating state/fault time scale အလိုက် contribution နဲ့ Z₂ လိုအပ်။ | Winding/neutral connection အလိုက် return path ကို စစ်ရမယ်။ |
| Inverter-based resource | Current limit, sequence-control strategy နှင့် ride-through behavior အပေါ် မူတည်။ | Converter/transformer topology နှင့် controls ကို စစ်ရမယ်။ |
Balanced prefault conventional-source model မှာ independent negative- နဲ့ zero-sequence driving sources ကို မထည့်လေ့ရှိပါတယ်။ ဒါဟာ disturbance နောက်ပိုင်း V₂ သို့မဟုတ် V₀ မဖြစ်နိုင်ဘူးလို့ ဆိုလိုခြင်း မဟုတ်ပါ။ Unbalanced source သို့မဟုတ် active converter controls ပါလျှင် source assumptions ကို ပြန်စစ်ရပါတယ်။
Generator အတွက် Xd၊ X′d၊ X″d တို့ဟာ time scale မတူသော models နဲ့ သက်ဆိုင်ပါတယ်။ Nameplate impedance တစ်ခုတည်းကို sequence သုံးခုလုံး၊ study အားလုံးအတွက် ထည့်ခြင်း မမှန်ပါ။
07. Neutral Impedance က ဘာကြောင့် 3ZN ဖြစ်သလဲ။
Grounded-wye winding တစ်ခုမှာ pure zero-sequence phase currents ကို Ia0 = Ib0 = Ic0 = I₀ လို့ ယူပါ။ Neutral မှ ပြန်စီးသော current က—
VN = ZNIN = 3ZNI₀
V₀ = (Z0,winding + 3ZN)I₀
Neutral component တစ်ခုက physical အရ သုံးလုံးဖြစ်သွားခြင်း မဟုတ်ပါ။ Sequence network မှာ current variable ကို I₀ သုံးနေပြီး actual neutral current က 3I₀ ဖြစ်တာကြောင့် equivalent impedance multiplier 3 ပေါ်လာခြင်း ဖြစ်ပါတယ်။
Worked Example 5 — Neutral Resistor on the Common Base
Given: 13.8 kV winding neutral မှ reference ground သို့ RN = 10 Ω; SB = 100 MVA။ Neutral impedance ကို same-side phase impedance base နဲ့ ပြောင်းပါမယ်။
RN,pu = 10/1.9044 = 5.250998 pu
3RN,pu = 15.752993 pu
Per-unit value ကြီးခြင်းက calculation မှားတယ်လို့ မဆိုလိုပါ။ ဒီ 100 MVA base နဲ့ နှိုင်းယှဉ်လျှင် neutral resistor က ground-fault current ကို အားကောင်းစွာ ကန့်သတ်ပေးနိုင်တဲ့ impedance ဖြစ်ပါတယ်။
| Grounding | Sequence-network treatment | Engineering consequence |
|---|---|---|
| Solidly grounded neutral | ZN ≈ 0 | Fault current ကို source, winding, line နှင့် fault-path impedances တို့က ဆုံးဖြတ်သည်။ |
| Resistance grounding | 3RN in zero sequence | Current magnitude နှင့် phase angle နှစ်ခုလုံး ပြောင်းနိုင်သည်။ |
| Reactance grounding | j3XN in zero sequence | System capacitance နှင့် interaction ကိုပါ စစ်ရန်လိုသည်။ |
| Ungrounded neutral | Neutral conduction path open | Earth capacitance/leakage ရှိနိုင်လို့ ground-fault current အမြဲ zero မဟုတ်ပါ။ |
Ground-grid resistance၊ neutral resistor၊ line earth-return impedance နဲ့ fault resistance တို့က circuit ထဲရှိ တည်နေရာနဲ့ physical meaning မတူပါ။ “Ground resistance” တစ်ခုတည်းအဖြစ် ရောပေါင်းခြင်းထက် actual paths ကို ရေးပြီး model တည်ဆောက်ပါ။
08. Transformer Connections နှင့် Zero-Sequence Paths
Transformer တစ်လုံးရဲ့ winding ratio နဲ့ percent impedance ကို သိရုံဖြင့် ground-fault network ကို မတည်ဆောက်နိုင်ပါ။ Neutral ဘယ်မှာရှိသလဲ၊ ဘယ် winding က delta လဲ၊ core/tertiary configuration ဘာလဲဆိုတာကို သိရပါတယ်။
| Connection | External zero-sequence line current | Modeling point |
|---|---|---|
| Grounded-wye / delta | Grounded-wye side မှ စီးနိုင်; delta external terminals မှ I₀ = 0 in the ideal winding model | Delta winding အတွင်း circulating currents က ampere-turn balance ကို ပံ့ပိုးနိုင်သည်။ |
| Grounded-wye / grounded-wye | Both sides မှ စီးနိုင်သော paths ရှိနိုင်သည်။ | Grounding နှစ်ဖက်၊ core flux path၊ tertiary နှင့် measured Z₀ ကို စစ်ရမယ်။ |
| Ungrounded-wye terminal | Neutral/other return path မရှိသော ideal model မှ I₀ = 0 | Terminal open in zero sequence; actual stray capacitance သီးခြားရှိနိုင်။ |
| Delta / delta | Ideal external line terminals တွင် I₀ = 0 | Internal circulating quantities နဲ့ external line quantities မတူပါ။ |
| Grounding transformer / zigzag | System အတွက် deliberate zero-sequence return path ပံ့ပိုးနိုင် | Manufacturer sequence data၊ rating နှင့် neutral impedance လိုအပ်။ |
Delta က ဘာကို Block လုပ်သလဲ။
Delta winding branch currents ကို Iab, Ibc, Ica လို့ သတ်မှတ်ပါ။ External line current တစ်ခုက Ia = Iab − Ica ဖြစ်ပါတယ်။ Branch သုံးခုအတွင်း equal circulating current ဖြစ်လျှင် external line differences တွေ cancel ဖြစ်ပါတယ်။
Ia = Ib = Ic = 0 for that circulating component
ထို့ကြောင့် “delta က zero sequence ကို block လုပ်တယ်” ဆိုတာ external line-terminal zero-sequence transfer ကို ရည်ညွှန်းပါတယ်။ Grounded-wye side မှ earth fault ဖြစ်လျှင် delta-side line currents လုံးဝ မရှိတော့ဘူးလို့ မဆိုလိုပါ။ Positive/negative sequence contributions ကြောင့် delta-side phases မှ fault contribution ရှိနိုင်ပါတယ်။ ဒီ terminal/circulating distinction ကို SEL — Tutorial on Symmetrical Components မှ transformer examples များနှင့် နှိုင်းယှဉ်လေ့လာနိုင်ပါတယ်။
Vector Group နှင့် Phase Shift
တူညီသော reference direction ဖြင့် transformer က positive sequence ကို θ shift ပေးလျှင် negative sequence ကို −θ shift ပေးပါတယ်။ Actual sign ကို winding convention၊ voltage reference နဲ့ vector-group clock notation အလိုက် သတ်မှတ်ရပါတယ်။
Negative sequence: ratio magnitude × e−jθ
Nominal ratio ကို per-unit bases ထဲ absorb လုပ်ထားလည်း phase relationships ကို reconstruct လုပ်တဲ့အခါ ပြန်ထည့်ရပါတယ်။ Differential relay compensation အတွက် phase shift နဲ့ zero-sequence removal လိုအပ်မှုတို့ကို သီးခြားစစ်ပါမယ်။
09. Sequence Networks ကို ဆက်ခြင်း — A–Ground Fault
ဒီ Part မှာ sequence-network connection ကို နားလည်စေရန် single-line-to-ground example တစ်ခုကို ဆင်းသက်ပါမယ်။ Fault types အားလုံးနှင့် equipment duty calculations ကို Part 4 မှာ တိုးချဲ့ပါမယ်။
Fault Boundary Conditions
a-phase မှ ground သို့ fault impedance ZF ရှိပြီး fault branch currents အတွက် Ib = Ic = 0 ဖြစ်လျှင်—
Va = V₀ + V₁ + V₂ = ZFIa = 3ZFI₁
Balanced prefault Thevenin source E₁ နှင့် fault location မှမြင်ရသော driving-point impedances Z₁, Z₂, Z₀ ကို သုံးပါမယ်။ Current ကို network မှ fault သို့ positive သတ်မှတ်ရင်—
I₁ = E₁/(Z₁ + Z₂ + Z₀ + 3ZF)
Ia = 3E₁/(Z₁ + Z₂ + Z₀ + 3ZF)
ဒီ formula ထဲက Z₀ ဟာ neutral impedance ပါဝင်ပြီးသား effective zero-sequence driving-point impedance ဖြစ်ပါတယ်။ Z₀ ထဲ 3ZN ထည့်ပြီးသားဆိုရင် ထပ်မထည့်ရပါ။ Fault impedance 3ZF ကတော့ fault location ရဲ့ သီးခြား contribution ဖြစ်ပါတယ်။
Part 1 Training System ကို ဘယ်လို ဆက်အသုံးပြုမလဲ။
Part 1 မှ T2 = 50 MVA, 115/13.8 kV, X₁ ≈ 0.16 pu on 100 MVA base ကို ပြန်သုံးပါမယ်။ ဒီ Part အတွက် additional study scenario အဖြစ် T2 ကို 115 kV delta / 13.8 kV grounded-wye connection လို့ သတ်မှတ်ပါတယ်။ ဒါဟာ Part 1 ရဲ့ zero-phase-shift teaching simplification ကို ပိုမိုအသေးစိတ် တိုးချဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး actual vector-group clock number ကို မသတ်မှတ်သေးပါ။
Fault ကို Bus 4 မှာထားပြီး same-side 13.8 kV reference နဲ့ upstream network ကို Thevenin equivalent အသစ်အဖြစ် သတ်မှတ်ပါမယ်။ အောက်ပါ upstream impedances တွေဟာ Part 1 full network မှ numerical reduction လုပ်ရရှိထားတာ မဟုတ်ဘဲ ဒီ worked example အတွက် ပေးထားသော data အသစ် ဖြစ်ပါတယ်။
| Input | 100 MVA base value | Assumption |
|---|---|---|
| E₁ at Bus 4 prefault | 1∠0° pu | No-load prefault approximation; RMS fundamental quantities။ |
| Upstream Z₁, Z₂ referred through T2 | j0.04 pu each | Given equivalent; all referred to the fault-side base/reference။ |
| T2 Z₁, Z₂ | j0.16 pu each | Linear leakage; resistance neglected။ |
| T2 zero-sequence leakage | j0.12 pu | Assumed independent training datum; neutral contribution excluded။ |
| Neutral RN | Case A: 0 Ω; Case B: 10 Ω | Single return path; other ground sources/capacitances omitted here။ |
| Fault ZF | 0 | Bolted a-to-ground fault; no motor/load contribution။ |
Positive/negative networks က upstream source contribution ပါရှိပြီး Z₁ = Z₂ = j0.20 pu ဖြစ်ပါတယ်။ Zero network က delta external terminals ကို ဖြတ်မသွားဘဲ grounded-wye winding၊ delta internal circulation နှင့် neutral return ကို model လုပ်ထားပါတယ်။
Worked Example 6 — Solidly Grounded Neutral
Z₂ = j0.20 pu; Z₀ = j0.12 pu
I₁ = 1/(j0.20 + j0.20 + j0.12) = −j1.923077 pu
Ia = 3I₁ = −j5.769231 pu
Part 1 မှ IB,13.8 = 4,183.698 A ကို သုံးလျှင်—
Boundary voltage ကို ပြန်စစ်လျှင်—
Va = V₁ + V₂ + V₀ = 0
3V₀ = −0.692308 pu
ဒီ case မှ |Ia| = |3I₀| ဖြစ်ပေမယ့် phase current နဲ့ residual current အမြဲတူတယ်လို့ မယေဘုယျပြုပါ။ ဒီ fault boundary မှ Ib = Ic = 0 ဖြစ်လို့ တူတာပါ။ Result က ဒီ model အတွင်း symmetrical RMS value ဖြစ်ပြီး peak/asymmetrical breaker duty မဟုတ်ပါ။
Worked Example 7 — 10 Ω Neutral Resistor ထည့်လျှင်
= 15.752993 + j0.12 pu
I₁ = 1/(15.752993 + j0.52)
= 0.0634109 − j0.00209317 pu
Ia = 0.1902327 − j0.00627951
= 0.1903363∠−1.8906° pu
|Ia| = 0.1903363 × 4,183.698 = 796.31 A RMS
Neutral resistance က dominate ဖြစ်လို့ physical-unit estimate နဲ့ စစ်နိုင်ပါတယ်။
= (13,800/√3)/10 = 796.74 A
Interpretation: Same transformer၊ same fault location ဖြစ်ပေမယ့် neutral grounding ပြောင်းလိုက်တာနဲ့ ground-fault current ဟာ 24.14 kA မှ 0.796 kA ခန့်အထိ ပြောင်းသွားပါတယ်။ Grounding က protection sensitivity နဲ့ equipment stress ကို သက်ရောက်စေတဲ့ network parameter ဖြစ်ပါတယ်။ Resistor selection အတွက် current တင်မက duration၊ thermal duty၊ insulation နှင့် actual system charging data ကိုပါ သီးခြားစစ်ရပါတယ်။
10. Parallel-Line Zero-Sequence Mutual Coupling
Parallel lines နှစ်ခုက common corridor မှာ ရှိတဲ့အခါ zero-sequence magnetic coupling ကို လျစ်လျူရှုလို့ မရနိုင်ပါ။ Corresponding current reference directions ကို တူညီစွာ သတ်မှတ်ထားလျှင် series voltage drops ကို—
ΔV₀,B = Z₀,BA I₀,A + Z₀,BB I₀,B
Reciprocal model အတွက် Z₀,AB = Z₀,BA ဖြစ်နိုင်ပါတယ်။ Actual sign က current/voltage reference convention နဲ့ ကိုက်ညီရပါမယ်။
Line B က out of service ဖြစ်နေတယ်ဆိုတာနဲ့ I₀,B ကို အလိုအလျောက် zero မထားပါ။ Open at both ends လား၊ grounded at both ends လား၊ grounding switches ဘယ်နေရာမှာ ပိတ်ထားလဲဆိုတာက induced-current path ကို ပြောင်းပေးပါတယ်။ ဒီအချက်က ground-distance measurement၊ directional decisions နဲ့ fault location ကို သက်ရောက်နိုင်ပါတယ်။
11. Relay က Sequence Quantities ကို ဘယ်လို အသုံးပြုသလဲ။
| Quantity | Application examples | စစ်ဆေးရန် |
|---|---|---|
| I₂ | Unbalance/negative-sequence protection, machine heating assessment | Fundamental extraction၊ pickup scaling၊ timing နှင့် equipment capability။ |
| 3I₀ | Residual ground overcurrent, ground directional elements | Calculated phase-CT residual လား၊ dedicated neutral/core-balance input လား။ |
| 3V₀ | Neutral displacement, ground directional polarization | VT connection၊ residual scaling၊ polarity နှင့် reference။ |
| V₂ / I₂ relationships | Negative-sequence directional applications | Source behavior၊ minimum polarizing quantities နှင့် relay algorithm။ |
| Vphase, Iphase, 3I₀ | Ground-distance measuring loops | Residual compensation convention နဲ့ sequence line impedances။ |
Ground-distance element တချို့က Icomp = Ia + k₀(3I₀) နဲ့ k₀ = (Z₀ − Z₁)/(3Z₁) ကို သုံးပါတယ်။ အခြား notation က Ia + K₀I₀ နဲ့ K₀ = (Z₀ − Z₁)/Z₁ လို့ ရေးနိုင်ပါတယ်။ Multiplier ပါသော quantity မတူလို့ compensation coefficient သုံးဆကွာနိုင်ပါတယ်။ Relay manual ရဲ့ exact convention ကို အရင်စစ်ပြီး Part 7 မှာ ဆင်းသက်တွက်ချက်ပါမယ်။
Negative sequence ရှိနေခြင်းက specific fault type တစ်မျိုးကို အတည်မပြုပါ။ Zero sequence မတွေ့ခြင်းကလည်း fault မရှိကြောင်း မသက်သေပြပါ။ Fault location၊ CT/VT installation point၊ transformer barrier၊ measurement errors နဲ့ system topology ကို တွဲကြည့်ရပါတယ်။ Sequence-based relay applications ကို SEL — Sequence Component Applications in Protective Relays တွင် ဆက်လက်လေ့လာနိုင်ပါတယ်။
Event Analysis အတွက် စစ်ဆေးရမည့် အစဉ်
- Phase labels၊ CT polarity၊ VT reference နှင့် ratios ကို စစ်ပါ။
- တူညီသော time window/frequency မှ phasors ကို သုံးပါ။
- Complex transformation ဖြင့် I₀, I₁, I₂ နဲ့ V₀, V₁, V₂ ကို တွက်ပါ။
- Inverse transformation နဲ့ original phase values ပြန်တူသလား စစ်ပါ။
- Residual quantity ရဲ့ definition နဲ့ primary/secondary units ကို စစ်ပါ။
- Sequence-network paths နဲ့ actual switching/grounding state ကို နှိုင်းယှဉ်ပါ။
ဒီစာမျက်နှာဟာ fundamental-frequency phasor analysis ကို အဓိကထားပါတယ်။ Zero-sequence fundamental unbalance နဲ့ triplen harmonic currents တို့ကို ရောမခေါ်ပါ။ Harmonic analysis လုပ်လျှင် frequency component တစ်ခုချင်းကို သီးခြားကိုင်တွယ်ရပါတယ်။
12. Practice Problems နှင့် Verification
- Reverse sequence: Va = 1∠0°, Vb = 1∠120°, Vc = 1∠−120° အတွက် [V₀,V₁,V₂] ကို ရှာပါ။
- Single nonzero phase: Ia = 900∠0° A၊ Ib = Ic = 0 အတွက် I₀, I₁, I₂ နှင့် 3I₀ ကို ရှာပါ။
- Reconstruction: V₀ = 0.10၊ V₁ = 1၊ V₂ = 0 pu ဖြစ်လျှင် Va, Vb, Vc ကို rectangular form ဖြင့် ရှာပါ။
- Neutral impedance: 100 MVA, 13.8 kV base ပေါ် RN = 2 Ω အတွက် RN,pu နှင့် 3RN,pu ကို ရှာပါ။
- Sequence network: Z₁ = Z₂ = j0.20၊ Z₀ = j0.20၊ E₁ = 1 pu၊ ZF = 0 အတွက် a-ground fault current ကို ရှာပါ။
- Engineering judgment: Grounded-wye side မှ ground fault ဖြစ်ပေမယ့် upstream delta-side relay မှ 3I₀ ≈ 0 ဖြစ်နိုင်သလား။ Phase currents ပါ zero ဖြစ်ရမလား။
- V₀ = 0၊ V₁ = 0၊ V₂ = 1 pu။
- I₀ = I₁ = I₂ = 300∠0° A; 3I₀ = 900∠0° A။
- Va = 1.10; Vb = −0.40 − j0.866025; Vc = −0.40 + j0.866025 pu။
- RN,pu = 1.050200; 3RN,pu = 3.150599 pu။
- I₁ = 1/(j0.60) = −j1.666667; Ia = −j5 pu။
- ဖြစ်နိုင်ပါတယ်။ Ideal delta external terminals က zero-sequence line current ကို block လုပ်ပေမယ့် positive/negative sequence contributions ကြောင့် phase currents ရှိနိုင်ပါတယ်။
Part 2 မှ ရရှိသည့် Engineering Deliverable
ယခုအဆင့်မှာ phase/sequence transformation convention၊ residual scaling၊ equipment sequence-model table၊ transformer zero-sequence path interpretation နှင့် grounding-dependent fault calculation ရရှိထားပါတယ်။
အဓိကစစ်ဆေးမှု သုံးခုကို မှတ်ထားပါ—ပြန်တည်ဆောက်လို့ရသလား၊ physical return path ရှိသလား၊ quantity နဲ့ reference convention မှန်သလား။ Sequence diagram ဆွဲထားရုံနဲ့ မပြီးဘဲ အဲဒီ diagram ကို circuit conditions နဲ့ ကိုက်ညီကြောင်း အထောက်အထားပြရပါတယ်။
နောက် Part 3 မှာ positive-sequence network ကို အခြေခံပြီး Power Flow၊ Voltage Control နှင့် Contingency Analysis ကို ဆက်လက်လေ့လာပါမယ်။
References & Further Reading
အောက်ပါရင်းမြစ်များက foundational derivations နှင့် relay applications အတွက် supporting references ဖြစ်ပါတယ်။ ဒီစာမျက်နှာရှိ numerical training scenarios နှင့် answer checks များကို သီးခြားတည်ဆောက်တွက်ချက်ထားပါတယ်။ Source တစ်ခုချင်း၏ sequence ordering နဲ့ phasor conventions ကို နှိုင်းယှဉ်ဖတ်ပါ။
- MIT OpenCourseWare — J. L. Kirtley Jr., Introduction to Symmetrical Components, Chapter 4။ Transformation၊ sequence impedances နှင့် transformer-network fundamentals။
- SEL — Tutorial on Symmetrical Components။ Worked phasor/event examples နှင့် delta-wye transformer applications။
- SEL — Sequence Component Applications in Protective Relays။ Sequence quantities ကို protective-relay applications နှင့် ဆက်စပ်လေ့လာရန်။